【数学建模】优化算法之非线性规划（上）（二次规划，凸规划）

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🤔 一个简单的开头

本文主要介绍优化问题中的非线性规划问题

小插曲：代码实操的时候和参考文章（书籍）里给的给的题目用的不是同一种方法，因此无意中发现到了quadprog()的方法不能用于非凸规划的二次规划。

📝主旨内容

（一）基本概念

（二）凸规划

1、凸集：

凸函数、凸规划的定义及学习_怎么判断凸规划_被逼的阿陈的博客-CSDN博客

1、计算几何是研究什么的？计算几何研究的对象是几何图形。早期人们对于图像的研究一般都是先建立坐标系，把图形转换成函数，然后用插值和逼近的数学方法，特别是用样条函数作为工具来分析图形，取得了可喜的成功。然而，这些方法过多地依赖于坐标系的选取，缺乏几何不变性，特别是用来解决某些大挠度曲线及曲线的奇异点等问题时，有一定的局限性。2、计算几何理论中过两点的一条直线的表达式，是如何描述的？通过以下公式...

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（1）凸集是对于集合内的每一对点，连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。

（2）任何两个凸集的交集也是凸集。

2、凸函数（注意与高中数学凹凸函数定义不一致）

凸函数_lhz泽少的博客-CSDN博客

今天主要来学习的是凸函数：包括是什么是凸函数，凸函数的判断，对于非凸函数的处理。凸函数先来看看什么是凸函数：如图左边的是一个凸函数，右边的不是凸函数，从图片我们也可以清楚的看到凸函数的一个显著的特点，也就是对于凸函数来说只有一个最低点，也就是极值点就是最值点，而非凸函数有多个极值点。因此在人工智能领域，如果遇到一个问题，我们的目标函数是一个凸函数，也就是说我们可以找到一个全局的最优解，如果...

https://blog.csdn.net/li15006474642/article/details/104581298?ops_request_misc=%7B%22request%5Fid%22%3A%22167810350216800213030684%22%2C%22scm%22%3A%2220140713.130102334..%22%7D&request_id=167810350216800213030684&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~top_positive~default-1-104581298-null-null.142^v73^insert_down4,201^v4^add_ask,239^v2^insert_chatgpt&utm_term=凸函数&spm=1018.2226.3001.4187

Hessian矩阵正定与函数凹凸性的关系_海塞矩阵如何判断凹凸_akenseren的博客-CSDN博客

1. 从矩阵变换的角度首先半正定矩阵定义为: 其中X 是向量，M 是变换矩阵我们换一个思路看这个问题，矩阵变换中，代表对向量 X进行变换，我们假设变换后的向量为Y，记做。于是半正定矩阵可以写成：这个是不是很熟悉呢？他是两个向量的内积。同时我们也有公式：||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度，是他们之间的夹角。于是半正定矩阵意味着, 这下明白了么？正定、半正定...

https://blog.csdn.net/akenseren/article/details/80416828?ops_request_misc=%7B%22request%5Fid%22%3A%22167810400316800180654231%22%2C%22scm%22%3A%2220140713.130102334.pc%5Fall.%22%7D&request_id=167810400316800180654231&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~first_rank_ecpm_v1~rank_v31_ecpm-1-80416828-null-null.142^v73^insert_down4,201^v4^add_ask,239^v2^insert_chatgpt&utm_term=Hessian矩阵多元凸函数判定&spm=1018.2226.3001.4187

3、凸规划：

（1）数学定义

（2）条件：

①目标函数f(x)是凸函数；

②不等约束条件gi(x)是凸函数，不等约束条件

gi(x)的解集是凸集；（可行域是凸集）

③等式约束条件是线性函数或常函数。

【例1】：

4、判断该规划问题是否为凸规划（python画图）

（1）安装相应的库（pip或pycharm安装）

pip镜像源设置-CSDN博客

pip国内镜像源阿里云 http://mirrors.aliyun.com/pypi/simple/中国科技大学 https://pypi.mirrors.ustc.edu.cn/simple/豆瓣(douban) http://pypi.douban.com/simple/清华大学 https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple/中国科学技术大学 http://pypi.mirrors.ustc.edu.cn/simple/临时修改使用-i参数指定pip

https://blog.csdn.net/Angus____/article/details/123614694?ops_request_misc=%7B%22request%5Fid%22%3A%22167810442816800182762602%22%2C%22scm%22%3A%2220140713.130102334..%22%7D&request_id=167810442816800182762602&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~top_click~default-2-123614694-null-null.142^v73^insert_down4,201^v4^add_ask,239^v2^insert_chatgpt&utm_term=pip镜像源&spm=1018.2226.3001.4187

（2）代码如下：（例1）

numpy.insert()使用方法_numpy 插入数据_瞻邈的博客-CSDN博客

numpy.insert()主要用于向矩阵中插入行或列。对于多维矩阵，可以沿任意一个轴插入元素。

https://blog.csdn.net/xhtchina/article/details/128932047?ops_request_misc=%7B%22request%5Fid%22%3A%22167810508616800182763579%22%2C%22scm%22%3A%2220140713.130102334..%22%7D&request_id=167810508616800182763579&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~top_click~default-1-128932047-null-null.142^v73^insert_down4,201^v4^add_ask,239^v2^insert_chatgpt&utm_term=np.insert&spm=1018.2226.3001.4187

5、解决凸规划问题

（1）例2：

（2）

创建优化变量 - MATLAB optimvar - MathWorks 中国

使用 optimvar 创建优化变量。

https://ww2.mathworks.cn/help/optim/ug/optimvar.html?s_tid=srchtitle_optimvar_1

（三）二次规划

1、概念与标准型

2、例题与代码

实现方法正好与给的是相反的，正好练一下代码

[例1]quadporg()

错误原因：不是凸规划（f(x)不是凸函数）

[例2]fmincon() 这个运行出来是对的

有约束非线性规划(待更新)

无约束非线性规划（待更新）

🤗总结归纳

参考文章

致谢：

💡

欢迎大家交流~